Come promesso ecco il post sullo sviluppo di Lagrange di una funzione analitica. Iniziamo con il considerare una funzione φ analitica in e su C. Allora se a é interno a C e il parametro t é tale che |tφ(ζ)|<|ζ-a| l'equazione z=a+tφ(z) ha una sola soluzione interna a C. Infatti la funzione ψ(z)=z-a-tφ(z) non ha poli in C. Per il teorema sull'indicatore logaritmico si ha allora:
}{\zeta-a-\varphi(\zeta)}dz=N)
Si consideri ora che:
\(1-\frac{t\varphi(\zeta)}{\zeta-a}\)}=\frac{1}{\zeta-a}\sum_{n=0}^{\infty}\(\frac{t\varphi(\zeta)}{\zeta-a}\)^n)
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Allora:
}{\zeta-a-\varphi(\zeta)}dz=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\oint_C\[1-t\varphi'(\zeta)\]\frac{\[\varphi(\zeta)\]^n}{\(\zeta-a\)^{n+1}}dz=J_1-J_2)
dove:
\]^n}{\(\zeta-a\)^{n+1}}dz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\[\frac{d^n}{dz^n}\]_{z=a}\[\varphi(z)\]^n)
\[\varphi(\zeta)\]^n}{\(\zeta-a\)^{n+1}}dz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{n!}\[\frac{d^n}{dz^n}\]_{z=a}\{\varphi'(z)\[\varphi(z)\]^n\})
Si tenga ora conto che, per la regola di derivazione della funzione composta, si ha:
\[\varphi(z)\]^n=\frac{d}{dz}\varphi(z)\[\varphi(z)\]^n=\frac{1}{n+1}(n+1)\[\varphi(z)\]^n\frac{d}{dz}\varphi(z)=\frac{1}{n+1}\frac{d}{dz}\[\varphi(z)\]^{n+1})
da cui:
\]^n-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}\[\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\]_{z=a}\[\varphi(z)\]^{n+1}=1)
rimanendo solo il termine con n=0 della prima serie. Abbiamo quindi dimostrato che la funzione z-a-tφ(z) ha un solo zero in C e che quindi l'equazione z=a+tφ(z) ha in C una sola soluzione. Il fatto che abbia un solo zero in C permette di usare il teorema dell'indicatore logaritmico con n=1 (ordine dello zero) e z il punto di zero di ψ(z):
\frac{\psi'(\zeta)}{\psi(\zeta)}d\zeta=f(z))
Ma d'altra parte:
\frac{\psi'(\zeta)}{\psi(\zeta)}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)\frac{1-t\varphi'(\zeta)}{\zeta-a-\varphi(\zeta)}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)\[1-t\varphi'(\zeta)\]\sum_{n=0}^\infty t^n\frac{[\varphi'(\zeta)]^n}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta=)
\frac{[\varphi(\zeta)]^n}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta-\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty t^{n+1}\oint_Cf(\zeta)\varphi'(\zeta)\frac{[\varphi(\zeta)]^n}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta=I_1-I_2)
dove, analogamente a quanto già visto:
\frac{[\varphi(\zeta)]^n}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\[\frac{d^n}{dz^n}\]_{z=a}\{f(z)[\varphi(z)]^n\})
\frac{\varphi'(\zeta)[\varphi(\zeta)]^n}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{n+1}}{n!}\[\frac{d^n}{dz^n}\]_{z=a}\{f(z)\varphi'(z)[\varphi(z)]^n\})
Usando nuovamente la regola di derivazione della funzione composta, si ha:
\varphi'(z)\[\varphi(z)\]^n=\frac{1}{n+1}f(z)\frac{d}{dz}\[\varphi(z)\]^{n+1})
da cui, usando la formula inversa della regola di derivazione del prodotto di due funzioni, si ottiene:
\frac{d}{dz}[\varphi(z)]^{n+1}\}=)
[\varphi(z)]^{n+1}\]-f'(z)[\varphi(z)]^{n+1}\}=S_1-S_2)
dove:
[\varphi(z)]^{n+1}\])
[\varphi(z)]^{n+1}\])
Allora:
=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)\frac{\psi'(\zeta)}{\psi(\zeta)}d\zeta=I_1-I_2=(I_1-S_1)+S_2)
Ma nella differenza tra parentesi tutti i termini di S
1 elidono tutti i termini di I
1 tranne quello con n=0, che vale f(a). In S
2 si sostituisce n+1 con n e in definitiva si ha:
=f(a)+\sum_{n=1}^\infty\frac{t^{n}}{{n}!}\[\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\]_{z=a}\[f'(z)[\varphi(z)]^{n}\])
che é lo sviluppo cercato. Questa formula di Lagrange ha grande importanza nella teoria dei polinomi di Legendre permettendo una semplice derivazione della cosiddetta
funzione generatrice dei polinomi di Legendre.
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3 commenti:
Risale a un mese fa il tuo primo post e io il tuo blog lo scopro solo ora???? MMMM così non andiamo proprio bene Simmese!!!
Mi sarebbe piaciuto lasciarti un commento sullo sviluppo di Lagrange, ma io sto tizio proprio non lo conosco :-)
Ps...ti ho mandato il documento di cui ti ho parlato...spero il tuo indirizzo email sia sempre quello...
Saluta tutti
Vecchio zozzozzone, mica l'avevo visto il veltman... ma vaffanculo... mi fai tornare in mente le identità di Ward... io avevo studiato su questo...
www.imsc.res.in/library/pdf/Diagrammar.pdf
che ha la simpatica dimostrazione che la derivata dell'autoenergia dell'elettrone è uguale al limite per impulso scambiato uguale a zero del vertice... o forse non è in quegli appunti... boh
Anche tu sul mio blog caro Nervena. Mi fa molto piacere... A presto spero!
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