In matematica le funzioni più semplici ma anche le più importanti sono senza dubbio i polinomi. Basti pensare alla possibilità di approssimare uniformemente ogni funzione continua con una successione di Polinomi garantita da vari teoremi (Taylor, Fourier e Stone-Weierstrass in tutte le sue varianti). Inoltre molte importanti equazioni differenziali della fisica matematica ammettono soluzioni in termini di polinomi di certe famiglie particolari. In questo post vorrei soffermarmi particolarmente sulle soluzioni polinomiali dell'importante equazione differenziale seguente:
\frac{d}{dx}P(x)]+n(n+1)P(x)=0)
con n intero positivo.
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Dalla teoria delle equazioni differenziali lineari di secondo grado a coefficienti non costanti e in particolare dell'equazione ipergeometrica si sa che una tale equazione ammette soluzione analitica in termini della serie di potenze:
=\sum_{k=0}^{+\infty}c_kx^k)
con i coefficienti c
k da determinare in maniera ricorsiva per sostituzione diretta della serie in questione nell'equazione partendo da c
0 e c
1. Eseguendo tale sostituzione ed uguagliando a zero il coefficiente della potenza k-esima si trova la relazione ricorrente:
(n+k+1)}{(k+1)(k+2)}\cdot c_k)
La formula appena scritta mostra che la soluzione dell'equazione ha in ogni caso parità definita. Ovviamente si hanno due soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione, y
1 e y
2, che si ottengono partendo rispettivamente con a
0 oppure con a
1 nella formula ricorrente. Tali due soluzioni sono intimamente connesse con la funzione ipergeometrica, come mostrerò in un post successivo. Una delle due diventa un polinomio, precisamente se n fosse pari y
1 mentre se n fosse dispari y
2, come si vede ponendo nei due casi k=n (tutte le potenze successive all'n-esima e con la sua stessa parità avrebbero coefficiente nullo). La soluzione polinomiale é quindi la seguente:
=\frac{1}{2^n}\sum_{\small{k=0}}^{\small{\[\frac{n}{2}\]}}(-1)^k\frac{(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}\cdot x^{\small{n-2k}})
come risulta direttamente dalla formula ricorsiva. Si é posto, per convenzione:
!}{2^n(n!)^2})
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1 commenti:
aggiungerei che la loro gloria è osservabile nella forma degli orbitali atomici, vera essenza della realtà
vedi su wikipedia il contributo
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