The doctor e i suoi record

Valentino Rossi continua a battere record in moto GP. Ha vinto il mondiale con ampio anticipo, ha vinto la gara di Motegi che lo ha laureato Campione per l'ottava volta e oggi, pur arrivando terzo, ha battuto due record. Il numero di podi in una stagione, sono ben 16 e il numero di punti totalizzati in totale, sono 373. Come le annate buone ha vinto 9 gare, facendo un altro sport rispetto agli altri.
Io trovo che Vale sia proprio una spanna sopra gli altri, anche sopra quelli bravi. Ha una sicurezza dei suoi mezzi allucinante. Straordinarie emozioni. Forte anche l'idea del giorno della vittoria del mondiale di stampare una maglietta con il messaggio "Scusate il ritardo" quasi come a confermare che era certo che avrebbe rivinto il mondiale prima o poi.
Quindi ora siamo a 8 campionati mondiali vinti. Il primo nel 1997 nella classe 125 con la bellezza di 11 vittorie, poi nel 1999 in 250 con 9 vittorie. Poi arrivano i titoli nella classe regina, dal 2001 al 2005 (11, 11, 9, 9 e 11 vittorie rispettivamente), poi pausa nel 2006 (Hayden, non sa neanche lui come ha fatto) e nel 2007 (Stoner implacable sulla Desmosedici). E poi quest'anno, con 9 vittorie dicevamo, nell'ordine:
Shangai, Le Mans, Mugello, Laguna Seca, Brno, Misano, Indianapolis, Motegi, Sepang. Forza Vale!! Continua così.

Il gruppo di Lorentz

Diamo qualche definizione e risultato sul gruppo di Lorentz, tanto importante in matematica ma ancora di più in fisica.
Siano le coordinate spazio-temporali. La coordinata etichettata con 0 è quella temporale (ct), mentre le altre tre sono quelle spaziali. Hanno tutte le dimensioni fisiche di uno spazio.
Si definisce la metrica diagonale η di Lorentz:

e tramite essa il modo con cui passare da coordinate controvarianti (con l'indice in alto) a coordinate covarianti (con l'indice in basso) e viceversa:

dove indichiamo con la metrica inversa per la quale si ha:

per definizione stessa di inversa.
Si definisce poi il prodotto scalare di Lorentz dei quadrivettori, che sono vettori dello spazio-tempo:
.
Una trasformazione di Lorentz (TL) generica deve per sua definizione lasciare tale prodotto scalare invariante.
Se quindi Λ è una TL e , allora l'invarianza del prodotto scalare implica la relazione caratterizzante una TL:

Infatti, deve essere:

Allora, moltiplicando la relazione caratterizzante una TL per (metrica inversa) si trova:

avendo spostato due indici con la metrica. La matrice:

viene detta trasposta di Λ secondo la metrica η o η-trasposta, indicata come . Allora la relazione (*) può essere letta come:

che definisce il gruppo di Lorentz come il gruppo delle matrici unitarie reali rispetto al prodotto scalare definito dalla metrica η di Lorentz. Si potrebbe dire che si tratta di rotazioni nello spazio-tempo quadridimensionale. Tale gruppo non è SO(4) perchè la metrica non è euclidea ma pseudoeuclidea con segnatura (1,3) (un segno + e tre segni - nel prodotto scalare invariante). Tale gruppo si indica allora con SO(1,3).
Le rotazioni e i boosts sono ovviamente dei casi particolari e particolarmente importanti di TL. Mostriamo che una qualsiasi TL si può scrivere come prodotto di una rotazione, un semplice boost parallelo ad un asse e un'altra rotazione.
Ma questo sarà l'argomento di un nuovo post. Seguitemi perchè sono pronti una serie di post molto interessanti sulla teoria dei gruppi e sulle applicazioni alla QFT (Quantum Field Theory). Devo solo trovare il tempo di scriverli sul blog. A presto!!

Espressione dei boost di Lorentz tramite le funzioni iperboliche

Ritorniamo ai boost di Lorentz nella direzione parallela all'asse x e, per comodità, non consideriamo y e z, avendo visto che un tale boost è nella forma:

dove abbiamo usato ct perchè omogenea ad x. La condizione di costanza della velocità della luce si traduce in:

Ossia, sostituendo x' e t':

Uguagliando i coefficienti si ha:

La forma di tali relazioni suggerisce di scegliere:

In questo modo le prime due relazioni sono automaticamente soddisfatte, mentre la terza fornisce:

Allora:

Ponendo nella prima relazione x' = 0 si ha:

avendo posto β = v / c. Ma allora:


Quindi, in definitiva, troviamo l'espressione del boost lungo l'asse x nella forma classica andando a sostituire le espressioni appena trovate:

Ancora sui boost di Lorentz

Nel precedente post abbiamo derivato l'espressione del boost parallelo all'asse x, in questo deriveremo l'espressione del generico boost in una qualsiasi direzione. Sia allora il versore parallelo alla direzione lungo la quale si esegue il boost.
E' chiaro che un vettore nel riferimento Σ può scomporsi in una componente parallela ad e in una ad esso perpendicolare:

Naturalmente solo la componente parallela subisce gli effetti del boost trasformandosi allo stesso modo della x del precedente post, rimanendo invariata la componente perpendicolare:

Allora:

Teniamo conto del fatto che per scrivere dunque:

Questa relazione vettoriale sulle coordinate deve essere accompagnata dalla relazione relativa al tempo:

Scrivendo al posto di ct, eseguendo tutti i prodotti scalari, ponendo:



otteniamo, uguagliando i coefficienti dei vari vettori di base :

Tale trasformazione di coordinate corrisponde alla matrice:

che rappresenta la generica trasformazione di tipo boost di Lorentz.

Le trasformazioni boost di Lorentz come conseguenza dei postulati di Einstein

Le famose trasformazioni di Lorentz ammettono, nella loro forma più semplice, una interessante derivazione. Partiamo dai postulati di Einstein, che ogni sistema di riferimento inerziale è equivalente ad ogni altro e che la velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale.
Consideriamo la seguente situazione: un osservatore si trova nell'origine O del riferimento Σ mentre un secondo osservatore si trova in O' origine di un altro sistema di riferimento Σ', in moto rispetto a Σ con velocità v nella direzione positiva dell'asse delle x.
Definiamo l'istante t = 0 come l'istante in cui vi sia coincidenza delle due origini O(0) ≡ O'(0). Successivamente O(t) = O(0) mentre O'(t) = O(0) + vt.
Il primo postulato suggerisce che lo spazio sia isotropo ed omogeneo. Questo implica che la relazione tra i due sistemi di coordinate deve essere lineare (una trasformazione lineare al massimo sposta l'origine e ciò è possibile grazie all'uniformità dello spazio e del tempo) e che gli assi y e z possono essere scelti paralleli rispettivamente agli assi y' e z' (come risultato di una rotazione intorno all'asse x la quale, grazie all'isotropia dello spazio, non influenza la nostra descrizione). Quindi la generica relazione tra (y,z) e (y',z') è la seguente, tenendo conto che le origini devono coincidere per t = 0 (quindi non esiste termine noto):

relazione che, per isotropia diventa subito:

Per ricavare A basta pensare di avere un regolo R1 (risp. R2) parallelo all'asse z (risp. z') nel sistema Σ (risp. Σ') e avente lunghezza l1 (risp. l2') unitaria per l'osservatore ad esso solidale. Quindi l1 = 1 per O e l2' = 1 per O'.
Ma d'altra parte l1' = A (lunghezza di R1 per O'), mentre l2 = 1/A (Lunghezza di R2 per O). Per l'equivalenza dei sistemi inerziali (primo postulato) si deve avere che la lunghezza di R1 per O' e quella di R2 per O devono essere uguali, da cui A = 1/A, oppure A = 1. Quindi, finalmente:

A questo punto consideriamo la più generale relazione lineare tra (x,t) e (x',t') è la seguente:

insieme con la sua inversa.
Ma quando x = x' = 0, si ha t = t' = 0, cosa che implica l'uguaglianza a zero dei termini noti. Quindi:

Nella prima di queste poniamo x' = 0, il che equivale a considerare il moto di O' rispetto a O. Allora, nella prima x = vt. Nella seconda poniamo invece x = 0, il che equivale a considerare il moto di O rispetto a O'. Allora, nella seconda x' = -vt'.


Allora se poniamo:

si ottiene:

Se tali fattori dipendessero dalle coordinate spaziali o dal tempo, potremmo dire addio all'omogeneità dell'universo. Se dipendessero dalla direzione del vettore velocità allora addio all'isotropia. Quindi possono solo dipendere dal modulo della velocità, che è proprio v.
A questo punto con un ragionamento simile a quello che precedentemente ci ha portati a dire che A = B mostriamo che γ = γ'. Consideriamo il solito regolo R1 (risp. R2) posto in O (risp. in O') di lunghezza l1 = 1 (risp. l2' = 1). Se all'istante t' = 0 l'osservatore in O' misurasse R1 troverebbe l1' = 1/γ (usando la seconda relazione con t' = 0). Al contrario, se all'istante t = 0 (che significa t' = 0 quindi nello stesso istante in cui O' misura R1) l'osservatore in O misurasse R2 troverebbe l2 = 1/γ' (usando la prima relazione con t = 0). I due sistemi devono essere equivalenti quindi l1' = l2. Dipendendo i due fattori solo da v, questo implica γ = γ'.

A questo punto non ci resta che determinare il valore del fattore γ in funzione del modulo v della velocità. Supponiamo che una sorgente lumonosa solidale con Σ emetta all'istante t = t' = 0 un raggio luminoso il quale inizia a propagarsi rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento con velocità c (velocità della luce). Il fronte dell'onda allora raggiungerà il punto P sull'asse x all'istante t dato per O da x = ct. In Σ' tale relazione diventa x' = ct'.
Per confronto:

Moltiplicando membro a membro si ha:

che è la relazione cercata in cui la dipendenza dal solo modulo della velocità è palese. Allora:

Dalla relazione inversa:

In definitiva i boost lungo l'asse x sono dati da: