Le trasformazioni boost di Lorentz come conseguenza dei postulati di Einstein

Le famose trasformazioni di Lorentz ammettono, nella loro forma più semplice, una interessante derivazione. Partiamo dai postulati di Einstein, che ogni sistema di riferimento inerziale è equivalente ad ogni altro e che la velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale.
Consideriamo la seguente situazione: un osservatore si trova nell'origine O del riferimento Σ mentre un secondo osservatore si trova in O' origine di un altro sistema di riferimento Σ', in moto rispetto a Σ con velocità v nella direzione positiva dell'asse delle x.
Definiamo l'istante t = 0 come l'istante in cui vi sia coincidenza delle due origini O(0) ≡ O'(0). Successivamente O(t) = O(0) mentre O'(t) = O(0) + vt.
Il primo postulato suggerisce che lo spazio sia isotropo ed omogeneo. Questo implica che la relazione tra i due sistemi di coordinate deve essere lineare (una trasformazione lineare al massimo sposta l'origine e ciò è possibile grazie all'uniformità dello spazio e del tempo) e che gli assi y e z possono essere scelti paralleli rispettivamente agli assi y' e z' (come risultato di una rotazione intorno all'asse x la quale, grazie all'isotropia dello spazio, non influenza la nostra descrizione). Quindi la generica relazione tra (y,z) e (y',z') è la seguente, tenendo conto che le origini devono coincidere per t = 0 (quindi non esiste termine noto):

relazione che, per isotropia diventa subito:

Per ricavare A basta pensare di avere un regolo R1 (risp. R2) parallelo all'asse z (risp. z') nel sistema Σ (risp. Σ') e avente lunghezza l1 (risp. l2') unitaria per l'osservatore ad esso solidale. Quindi l1 = 1 per O e l2' = 1 per O'.
Ma d'altra parte l1' = A (lunghezza di R1 per O'), mentre l2 = 1/A (Lunghezza di R2 per O). Per l'equivalenza dei sistemi inerziali (primo postulato) si deve avere che la lunghezza di R1 per O' e quella di R2 per O devono essere uguali, da cui A = 1/A, oppure A = 1. Quindi, finalmente:

A questo punto consideriamo la più generale relazione lineare tra (x,t) e (x',t') è la seguente:

insieme con la sua inversa.
Ma quando x = x' = 0, si ha t = t' = 0, cosa che implica l'uguaglianza a zero dei termini noti. Quindi:

Nella prima di queste poniamo x' = 0, il che equivale a considerare il moto di O' rispetto a O. Allora, nella prima x = vt. Nella seconda poniamo invece x = 0, il che equivale a considerare il moto di O rispetto a O'. Allora, nella seconda x' = -vt'.


Allora se poniamo:

si ottiene:

Se tali fattori dipendessero dalle coordinate spaziali o dal tempo, potremmo dire addio all'omogeneità dell'universo. Se dipendessero dalla direzione del vettore velocità allora addio all'isotropia. Quindi possono solo dipendere dal modulo della velocità, che è proprio v.
A questo punto con un ragionamento simile a quello che precedentemente ci ha portati a dire che A = B mostriamo che γ = γ'. Consideriamo il solito regolo R1 (risp. R2) posto in O (risp. in O') di lunghezza l1 = 1 (risp. l2' = 1). Se all'istante t' = 0 l'osservatore in O' misurasse R1 troverebbe l1' = 1/γ (usando la seconda relazione con t' = 0). Al contrario, se all'istante t = 0 (che significa t' = 0 quindi nello stesso istante in cui O' misura R1) l'osservatore in O misurasse R2 troverebbe l2 = 1/γ' (usando la prima relazione con t = 0). I due sistemi devono essere equivalenti quindi l1' = l2. Dipendendo i due fattori solo da v, questo implica γ = γ'.

A questo punto non ci resta che determinare il valore del fattore γ in funzione del modulo v della velocità. Supponiamo che una sorgente lumonosa solidale con Σ emetta all'istante t = t' = 0 un raggio luminoso il quale inizia a propagarsi rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento con velocità c (velocità della luce). Il fronte dell'onda allora raggiungerà il punto P sull'asse x all'istante t dato per O da x = ct. In Σ' tale relazione diventa x' = ct'.
Per confronto:

Moltiplicando membro a membro si ha:

che è la relazione cercata in cui la dipendenza dal solo modulo della velocità è palese. Allora:

Dalla relazione inversa:

In definitiva i boost lungo l'asse x sono dati da: