Le rotazioni in 3 dimensioni

Le rotazioni dello spazio a 3 dimensioni in matematica e in fisica sono trattabili in termini di particolari matrici, dette matrici ortogonali la cui matrice inversa coincide con la trasposta (per matrice trasposta di R si intende la matrice RT che si ottiene scambiando righe con colonne di R). In formula, detta R una tale matrice RRT=1. Una matrice ortogonale tridimensionale può sempre, grazie ad una opportuna trasformazione di similitudine, essere posta nella forma:

Inoltre le righe e le colonne di una matrice di rotazione formano una base ortonormale. Tali matrici sono per definizione invertibili e formano quindi un sottogruppo di GL(3), denotato con O(3). Immaginiamo ora di considerare una rotazione infinitesima cioè una matrice vicina alla matrice identica R=1+E, dove le entrate della matrice E sono infinitesime. Allora:

dove a,…,k sono infinitesimi. Allora prodotti e potenze di tali coefficienti possono essere trascurati nei successivi conti in quanto infinitesimi di ordine superiore al primo.
Consideriamo la matrice infinitesima scritta sopra e imponiamo che rappresenti una rotazione:

Tale prodotto, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo vale:

Da questa ultima relazione segue che i parametri g, h, k devono essere posti a zero, mentre:

Queste condizioni mi permettono di scrivere una generica rotazione infinitesima nella forma:

dove sono per comodità state introdotte le matrici Lk dette generatori infinitesimi del gruppo delle rotazioni nel senso che ogni matrice infinitesima può scriversi come loro combinazione lineare. Inoltre si sono ridefiniti i coefficienti opportunamente: a=γ, b=-β, c=α. Si trova facilmente che:

Essendo questa espansione vera a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo si può pensare che in forma finita una rotazione con parametri α, β e γ sia data da:

in quanto exp A~1+A+(termini trascurati). A questo punto si noti che il vettore (α β γ) è invariante sotto la rotazione infinitesima R in quanto R(α β γ)=(α β γ). Quindi sicuramente tale vettore stabilisce la direzione dell'asse di rotazione.
Ora considero il generico vettore perpendicolare a v=(α β γ). Esso si scrive come segue:

Il modulo di questo vettore vale:

Allora sarebbe meglio considerare il generico versore perpendicolare, ottenibile da w dividendo semplicemente per il suo modulo:


Applichiamo la rotazione a un tale vettore. Secondo il senso comune, essendo perpendicolare all'asse di rotazione, esso dovrebbe essere variato di una quantità perpendicolare sia all'asse stesso sia al versore r (in direzione tangenziale alla circonferenza di raggio r e con centro sull'asse). Cioè si dovrebbe avere:

dove:

Vediamo se si trova questo con il calcolo. Intanto poniamo:

Allora:

Ma:

da cui segue che:

Tale vettore risulta effettivamente perpendicolare all'asse di rotazione d (cioè al vettore v) e allo stesso r, come un semplicissimo calcolo algebrico mostra immediatamente.
La figura mostra ed è ben noto che, essendo una quantità infinitesima, il modulo ||e|| vale quanto l'arco di circonferenza compreso tra i vettori r ed R(r).Ma la circonferenza ha raggio unitario quindi tale lunghezza d'arco uguaglia l'angolo di rotazione θ. Calcolare tale modulo è un esercizio algebrico coinvolgente un raccoglimento totale del radicando di c. Si ottiene agevolmente: