... e nello stesso tempo la meno conosciuta:
La sua derivazione si basa su un interessante esperimento mentale, manco a dirlo pensato dallo stesso Einstein. Immaginiamo un corpo A di colore nero posto nell'origine delle coordinate di un sistema di riferimento K'. La richiesta che A sia di colore nero é equivalente a richiedere che possa assorbire le onde elettromagnetiche che eventualmente lo investono. Sia K un sistema di riferimento inerziale in moto rispetto a K' con velocità di modulo V e direzione dell'asse x' parallelo all'asse x. Ad un certo istante due lampi di luce vengono emessi da una sorgente posta in un punto dell'asse y' e si dirigono verso A. Tali onde trasportano una energia E ed una quantità di moto P = E/c.
Dopo l'assorbimento delle due onde da parte del corpo A, per un osservatore posto in K', la situazione è la seguente: A ha aumentato la sua energia di una quantità ΔE = 2E (l'energia dei due lampi si somma) mentre la variazione della quantità di moto è nulla sommandosi due valori opposti in segno e di ugual valore E/c. Dunque la velocità di A non varia il suo modulo (variazione di quantità di moto nulla implica forza nulla e dunque accelerazione nulla).
La situazione vista invece da un osservatore solidale con il sistema di riferimento K è la seguente: i due raggi si avvicinano ad A formando un certo angolo con l'asse x, cosa che comporta una componente parallela ad x di P non nulla, che indichiamo con P
x. Le due quantità di moto dei due lampi sono inoltre nello stesso verso e si ha dunque la variazione:
dove P
x si trova, grazie alla proporzionalità tra velocità e quantità di moto, come soluzione della proporzione:
in quanto la componente P
x dell'onda sta al modulo di P come la componente x della velocità dell'onda, che è V sta al modulo della velocità dell'onda che é c, a causa della suddetta proporzionalità. Quindi la quantità di moto di A subisce una variazione se vista da un osservatore in K. Questo porta come conseguenza una variazione del modulo della velocità V di A. Ma la volocità di A deve rimanere uguale per i due osservatori, in quanto A per l'osservatore in K' rimane fermo. Allora per un osservatore in K deve sia variare la quantità di moto di A che mantenersi la sua velocità costante. Questo è possibile solo se la massa di A varia, ciò che porta una variazione di P secondo la formula ΔP = Δ(γmV) = γVΔm. Allora:
avendo posto ΔP = ΔP
x per comodità di notazione.
Allora per il sistema K' in cui γ = 1 si ha:
che é la tanto decantata equazione.
