Il gruppo di Lorentz

Diamo qualche definizione e risultato sul gruppo di Lorentz, tanto importante in matematica ma ancora di più in fisica.
Siano le coordinate spazio-temporali. La coordinata etichettata con 0 è quella temporale (ct), mentre le altre tre sono quelle spaziali. Hanno tutte le dimensioni fisiche di uno spazio.
Si definisce la metrica diagonale η di Lorentz:

e tramite essa il modo con cui passare da coordinate controvarianti (con l'indice in alto) a coordinate covarianti (con l'indice in basso) e viceversa:

dove indichiamo con la metrica inversa per la quale si ha:

per definizione stessa di inversa.
Si definisce poi il prodotto scalare di Lorentz dei quadrivettori, che sono vettori dello spazio-tempo:
.
Una trasformazione di Lorentz (TL) generica deve per sua definizione lasciare tale prodotto scalare invariante.
Se quindi Λ è una TL e , allora l'invarianza del prodotto scalare implica la relazione caratterizzante una TL:

Infatti, deve essere:

Allora, moltiplicando la relazione caratterizzante una TL per (metrica inversa) si trova:

avendo spostato due indici con la metrica. La matrice:

viene detta trasposta di Λ secondo la metrica η o η-trasposta, indicata come . Allora la relazione (*) può essere letta come:

che definisce il gruppo di Lorentz come il gruppo delle matrici unitarie reali rispetto al prodotto scalare definito dalla metrica η di Lorentz. Si potrebbe dire che si tratta di rotazioni nello spazio-tempo quadridimensionale. Tale gruppo non è SO(4) perchè la metrica non è euclidea ma pseudoeuclidea con segnatura (1,3) (un segno + e tre segni - nel prodotto scalare invariante). Tale gruppo si indica allora con SO(1,3).
Le rotazioni e i boosts sono ovviamente dei casi particolari e particolarmente importanti di TL. Mostriamo che una qualsiasi TL si può scrivere come prodotto di una rotazione, un semplice boost parallelo ad un asse e un'altra rotazione.
Ma questo sarà l'argomento di un nuovo post. Seguitemi perchè sono pronti una serie di post molto interessanti sulla teoria dei gruppi e sulle applicazioni alla QFT (Quantum Field Theory). Devo solo trovare il tempo di scriverli sul blog. A presto!!