Formula integrale di Laplace

Utilizzando la formula di Schlaffli dimostrata nel precedente post si può dimostrare la formula di rappresentazione integrale di Laplace per i polinomi di Legendre. E' sufficiente prendere come contorno C su cui integrare la circonferenza centrata in x e con raggio dato da √|x2-1|, che equivale ad eseguire la sostituzione:

dove φ varia tra -π e π.La formula di Schlaffi si può scrivere come:

da cui, eseguendo la sostituzione suddetta:

Ora scriviamo diversamente l'integrando, al fine di semplificarlo:



Allora abbiamo trovato la formula integrale seguente:

che é proprio la rappresentazione integrale di Laplace per i polinomi di Legendre.