La formula di Rodriguez

In un post precedente ho dato la formula seguente per i polinomi di Legendre:

dove [n/2] é la parte intera di n/2.
Ora voglio mostrare come essi possano ricavarsi da una formula che implica semplice derivazione di un polinomio di grado 2n, detta formula di Rodriguez. Per dimostrare tale formula ci serviremo del fatto che la derivata di ogni potenza può vedersi come derivata di una potenza di grado tanto maggiore quanto maggiore è il numero di volte che si deriva. Infatti si vede subito che:

Allora la formula precedente per i polinomi di Legendre diventa:


dove nel penultimo passaggio il limite superiore di sommatoria diventa n in quanto la derivata n-esima presente prima della somma annulla tutti i termini della somma stessa da [n/2] ad n, essendo tali termini potenze di grado inferiore ad [n/2] stesso. Quindi la formula cercata é la seguente:

Usando la formula per la derivata n-esima di Cauchy si ottiene la cosiddetta formula di Schlaffli: