Esiste un interessante teorema, detto teorema dell'indicatore logaritmico che può essere usato per dimostrare un ulteriore risultato, il teorema dello sviluppo di Lagrange che pubblicherò a breve in un successivo post, collegato a sua volta ai polinomi di Legendre. Tale teorema dice che, data una funzione analitica all'interno e su un contorno semplice (cioé senza autointersezioni) C, con l'eccezione di certi poli bj di ordine pj, e avente certi zeri aj di ordine nj, si ha:
\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz=\sum_j n_j\varphi(a_j)-\sum_j p_j\varphi(b_j))
dove la funzione φ é una qualsiasi funzione analitica in e su C. Come caso particolare se la funzione φ vale identicamente 1, si ha:
}{\psi(z)}dz=\sum_j n_j-\sum_j p_j=N-P)
dove N e P sono il numero totale di zeri e di poli di ψ internamente a C.
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Per dimostrare questo teorema usiamo il teorema di Cauchy generalizzato che permette di calcolare un integrale curvilineo come somma di integrali su curve intorno ai poli della funzione integranda, ad esempio circonferenze di raggio ε. I poli della funzione integranda sono in questo caso i poli di ψ che sono pure poli della sua derivata, e gli zeri di ψ che compare a denominatore. In formula:
\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\sum_j\oint_{C_\epsilon(a_j)}\varphi(z)\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz+\frac{1}{2\pi i}\sum_j\oint_{C_\epsilon(b_j)}\varphi(z)\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz)
Si tenga conto che in prossimità di uno zero la funzione analitica ψ si può scrivere come:
=(z-a_j)^{n_j}\psi_j(z) \Rightarrow\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}=\frac{d}{dz}\ln\psi(z)=\frac{n_j}{z-a_j}+\frac{\psi'_j(z)}{\psi_j(z)})
con ψ
j analitica e non nulla in a
j,mentre intorno ad un polo si ha la analoga scrittura:
=(z-b_j)^{-p_j}\psi_j(z) \Rightarrow\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}=\frac{d}{dz}\ln\psi(z)=-\frac{p_j}{z-a_j}+\frac{\psi'_j(z)}{\psi_j(z)})
di nuovo con ψ
j analitica e non nulla in a
j, il che, considerando che la derivata logaritmica di ψ
j é analitica (e quindi si annulla il suo integrale su C), permette di concludere:
}\varphi(z)\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz=\frac{n_j}{2\pi i}\oint_{C_\epsilon(a_j)}\frac{\varphi(z)}{z-a_j}dz=n_j\varphi(a_j))
}\varphi(z)\frac{\psi'(z)}{\psi(z)}dz=-\frac{p_j}{2\pi i}\oint_{C_\epsilon(a_j)}\frac{\varphi(z)}{z-b_j}dz=-p_j\varphi(b_j))
avendo usato nell'ultima uguaglianza la formula integrale di Cauchy:
}\frac{\varphi(z)}{z-z_0}=\varphi(z_0))
La tesi é stata allora dimostrata.
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1 commenti:
Ma dai che bello, era proprio quello che cercavo. Ti ringrazio enormemente!
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