Questo mondo non é come lo vorrei, come canta Vasco ultimamente. Il mestiere più raro, forse perché più difficile é diventato quello del giornalista. Lo testimonia la scarsità di notizie vere, intendo non legate in qualche mnodo al gossip o alla voglia di fare allarmismo. La realtà viene nascosta o mascherata da qualcosa che non ha molto di reale, le malefatte della classe politica e dirigente vengono trasformate in complotti dei magistrati e il contrasto della giustizia e della verità è una azione eroica.
Io di eroico ci vedo ben poco in questo seppur sapiente ed efficace modo di disinformare. Ci vedo la convenienza di un certo gruppo di persone questo sì. E attenti a non farvi incantare da chi vuole fare credere che la tendenza a nascondere e mistificare è solo del centrodestra. Io lo vedo un atteggiamento bipartizan, in cui ultimamente pure il centrosinistra ha detto ad alta voce la sua.
Che si dice ad esempio dell'immondizia a Napoli? Pare che io sia arrivato il Padre Eterno a sistemare le cose! Ma non é così.
Chi dovrebbe occuparsi di sovrintendere e controllare i siti tipo le discariche ha invece tutto l'interesse a fare proseguire la situazione d'illegalità che c'è stata finora. Lo dimostra l'esempio del tutore della legge di cui racconta Travaglio, trasferito su un altro caso per i suoi rapporti scomodi sul caso in questione, rapporti in cui faceva notare le mancanze del sistema di controllo. Ora prosegue il lavoro sul caso che gli é stato tolto, ma fuori dall'orario di lavoro. E i corrotti si chiedono come mai i rapporti scomodi continuano ad essere sulle loro scrivanie. Ma le persone oneste sono mosche bianche, il sistema é studiato apposta per autosostenersi. I colpevoli si coprono a vicenda, la responsabilità non é mai di qualcuno precisamente, é tutto molto aleatorio.
Ciò che invece é certo é che se un giornalista si permette di raccontare qualcosa di vero ma scomodo viene accusato di fare politica e di atteggiamento fazioso o capzioso (che paroloni per dire che li stanno sputtanando agli occhi dell'opinione pubblica). Ultimamente i TG usano spesso la parola allarme. E' un allarme generale: allarme stupri, allarme nomadi, allarme criminalità, allarme rifiuti, allarme maltempo, allarme, allarme e ancora allarme. Allarmare distrae la gente. Le persone allarmate sono meno propense a pensare alle cose che gli succedono veramente intorno. Preferiscono pensare al procurato allarme. C'è chi quindi usa ad arte questa tecnica di depistaggio. Infatti nessuno si accorge che il fatto che il governo voglia annullare le intercettazioni per i reati con pene sotto i dieci anni oppure sospendere i processi dovrebbe essere da allarme democratico. Ah già per esserci un allarme democratico dovrebbe esserci una democrazia!!
Per questo apprezzo Marco Travaglio (guardate qualche suo video su YouTube dalla mia barra video) che dice chiaramente che Andreotti è sato prescritto pur avendo commesso il reato di mafia e non dice che è innocente in quanto assolto. Dice la verità che si legge nelle sentenze. Se si crede alla buona fede dei giudici e del sistema giudiziario. Ma questo è un altro discorso.
lunedì 30 giugno 2008
Non é come vorrei
sabato 28 giugno 2008
Formula integrale di Laplace
Utilizzando la formula di Schlaffli dimostrata nel precedente post si può dimostrare la formula di rappresentazione integrale di Laplace per i polinomi di Legendre. E' sufficiente prendere come contorno C su cui integrare la circonferenza centrata in x e con raggio dato da √|x2-1|, che equivale ad eseguire la sostituzione:
dove φ varia tra -π e π.La formula di Schlaffi si può scrivere come:
da cui, eseguendo la sostituzione suddetta:
Ora scriviamo diversamente l'integrando, al fine di semplificarlo:
Allora abbiamo trovato la formula integrale seguente:
che é proprio la rappresentazione integrale di Laplace per i polinomi di Legendre.
venerdì 27 giugno 2008
La formula di Rodriguez
In un post precedente ho dato la formula seguente per i polinomi di Legendre:
dove [n/2] é la parte intera di n/2.
Ora voglio mostrare come essi possano ricavarsi da una formula che implica semplice derivazione di un polinomio di grado 2n, detta formula di Rodriguez. Per dimostrare tale formula ci serviremo del fatto che la derivata di ogni potenza può vedersi come derivata di una potenza di grado tanto maggiore quanto maggiore è il numero di volte che si deriva. Infatti si vede subito che:
Allora la formula precedente per i polinomi di Legendre diventa:
dove nel penultimo passaggio il limite superiore di sommatoria diventa n in quanto la derivata n-esima presente prima della somma annulla tutti i termini della somma stessa da [n/2] ad n, essendo tali termini potenze di grado inferiore ad [n/2] stesso. Quindi la formula cercata é la seguente:
Usando la formula per la derivata n-esima di Cauchy si ottiene la cosiddetta formula di Schlaffli:
sabato 21 giugno 2008
Lo sviluppo di Lagrange
Come promesso ecco il post sullo sviluppo di Lagrange di una funzione analitica. Iniziamo con il considerare una funzione φ analitica in e su C. Allora se a é interno a C e il parametro t é tale che |tφ(ζ)|<|ζ-a| l'equazione z=a+tφ(z) ha una sola soluzione interna a C. Infatti la funzione ψ(z)=z-a-tφ(z) non ha poli in C. Per il teorema sull'indicatore logaritmico si ha allora:
Si consideri ora che:
(Leggi il resto)(Nascondi)
Allora:
dove:
Si tenga ora conto che, per la regola di derivazione della funzione composta, si ha:
da cui:
rimanendo solo il termine con n=0 della prima serie. Abbiamo quindi dimostrato che la funzione z-a-tφ(z) ha un solo zero in C e che quindi l'equazione z=a+tφ(z) ha in C una sola soluzione. Il fatto che abbia un solo zero in C permette di usare il teorema dell'indicatore logaritmico con n=1 (ordine dello zero) e z il punto di zero di ψ(z):
Ma d'altra parte:
dove, analogamente a quanto già visto:
Usando nuovamente la regola di derivazione della funzione composta, si ha:
da cui, usando la formula inversa della regola di derivazione del prodotto di due funzioni, si ottiene:
dove:
Allora:
Ma nella differenza tra parentesi tutti i termini di S1 elidono tutti i termini di I1 tranne quello con n=0, che vale f(a). In S2 si sostituisce n+1 con n e in definitiva si ha:
che é lo sviluppo cercato. Questa formula di Lagrange ha grande importanza nella teoria dei polinomi di Legendre permettendo una semplice derivazione della cosiddetta funzione generatrice dei polinomi di Legendre.
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giovedì 19 giugno 2008
L'indicatore logaritmico
Esiste un interessante teorema, detto teorema dell'indicatore logaritmico che può essere usato per dimostrare un ulteriore risultato, il teorema dello sviluppo di Lagrange che pubblicherò a breve in un successivo post, collegato a sua volta ai polinomi di Legendre. Tale teorema dice che, data una funzione analitica all'interno e su un contorno semplice (cioé senza autointersezioni) C, con l'eccezione di certi poli bj di ordine pj, e avente certi zeri aj di ordine nj, si ha:
dove la funzione φ é una qualsiasi funzione analitica in e su C. Come caso particolare se la funzione φ vale identicamente 1, si ha:
dove N e P sono il numero totale di zeri e di poli di ψ internamente a C.
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Per dimostrare questo teorema usiamo il teorema di Cauchy generalizzato che permette di calcolare un integrale curvilineo come somma di integrali su curve intorno ai poli della funzione integranda, ad esempio circonferenze di raggio ε. I poli della funzione integranda sono in questo caso i poli di ψ che sono pure poli della sua derivata, e gli zeri di ψ che compare a denominatore. In formula:
Si tenga conto che in prossimità di uno zero la funzione analitica ψ si può scrivere come:
con ψj analitica e non nulla in aj,mentre intorno ad un polo si ha la analoga scrittura:
di nuovo con ψj analitica e non nulla in aj, il che, considerando che la derivata logaritmica di ψj é analitica (e quindi si annulla il suo integrale su C), permette di concludere:
avendo usato nell'ultima uguaglianza la formula integrale di Cauchy:
La tesi é stata allora dimostrata.
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martedì 17 giugno 2008
La democrazia? Meglio i soviet.
Intervista di Claudio Sabelli Fioretti de LaStampa a Piergiorgio Odifreddi: «Questo sistema è di tre secoli fa, è anacronistico. Mi sento comunista, mi piace lo statalismo».
Trovate online l'intervista originale su La Stampa Online.Un giorno ha voluto spiegare perché non possiamo essere cristiani. Il libro ha venduto 200 mila copie. Piergiorgio Odifreddi ci ha preso gusto e ha cominciato la serie del matematico, "impertinente" prima e "impenitente" dopo, sempre a colpi di 100 mila copie. Ateo, laico, anticlericale, sostanzialmente mangiapreti, nonostante quattro anni di seminario, o forse proprio per quello, Odifreddi l'ho incontrato in Spagna, sul Camino de Santiago de Compostela. Roba seria per pellegrini credenti. Impenitente, che ci fai qui? «Sono stato sull'Himalaya. Ho fatto i pellegrinaggi indu. Camminare nei campi ti mette in sintonia con te stesso».
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E un libro sul Camino?
«Lo faremo io e Sergio Valzania, il direttore di Radio2 e Radio3. Si chiamerà La via lattea, da Buñuel naturalmente. L'impenitente e il credente camminano insieme e dibattono».
Chi ha vinto?
«Valzania è un muro di gomma. Qualunque cosa tu gli dica è sempre la dimostrazione dell'esistenza di Dio».
Ha vinto il credente, quindi…
«Valzania crede di credere perché chiude gli occhi davanti alla realtà. Persone strutturate intellettualmente come lui non possono essere dei credenti».
La fede è roba per gente semplice?
«Einstein, nell'ultima fase della sua vita, scrisse: "La religione è una superstizione infantile"».
Einstein ha sempre detto di avere uno spirito religioso…
«Ma anch'io ce l'ho. Se non si crede ad un universo ordinato è inutile fare lo scienziato».
Quindi lo scienziato crede.
«Crede all'opposto dei dogmi ai quali dice di credere Valzania, tipo verginità della Madonna».
Basta religione. Politica. La matematica può aiutare il buon governo?
«C'è il teorema dell'impossibilità, valso a Kenneth Arrow il premio Nobel per l'economia. Dice in sostanza che la democrazia non esiste. C'è il paradosso di Condorcet: nel 1976 negli Usa Carter vinse contro Ford, ma Ford aveva vinto contro Reagan. E secondo i sondaggi Reagan avrebbe vinto contro Carter. Chi doveva fare il presidente?»
Ricordi? La democrazia non è un sistema perfetto ma è il migliore.
«Non ne sono sicuro: il sistema democratico è di tre secoli fa, è anacronistico. Oggi abbiamo mezzi elettronici. Oggi il governo dovrebbe limitarsi a fare ordinaria amministrazione».
E per i grandi temi?
«Ridi se vuoi. Però il sistema dei soviet era più moderno».
Rido.
«I soviet erano come le corporazioni. Tu potevi far parte di tanti soviet perché eri contemporaneamente giornalista, filatelico, letterato… Potevi delegare tutto a una sola persona?».
Come spieghi il successo della destra alle elezioni?
«Gli italiani sono sempre stati di destra. I proletari oggi non votano».
Come sarebbe a dire?
«Albanesi, marocchini, rumeni non votano. I proletari italiani sono diventati borghesi».
Sembrava che tu volessi scendere in campo.
«Mi chiamò Veltroni quando nacque il Pd. Ma io sono di sinistra e il Pd è una ricostruzione della Dc".
E allora?
«Ho pensato: se uno entra nel Pd riesce a fare qualche cosa».
E sei entrato…
«Mi sono sentito subito a disagio. Mi misero nella commissione valori. Cento persone. Accanto a me era seduta la Binetti».
Col cilicio.
«La Binetti è molto gentile. Ma è un'integralista. E poi, diciamolo ma non lo scrivere: è una che non ha mai avuto un uomo, è dell'Opus Dei, vive in una comunità di donne, il suo stipendio lo devolve interamente all'Opus Dei. Però…»
Però?
«Preferisco lei a Veltroni. Lei è una che ha dei principi. Veltroni non sai che cosa vuole. E alla fine ti frega».
Ha fregato anche te?
«C'erano troppi dc nel Pd. Ho chiesto a Veltroni di prendere posizione. Lui ha parlato della funzione pubblica della religione. E allora me ne sono andato».
Di molti dc si diceva che erano laici…
«Si dice che De Gasperi fosse laico perché talvolta rifiutava di obbedire agli ordini di Pio XII. E pensa ad Andreotti».
Cossiga dice che rappresenta il Vaticano in Italia.
«Dice anche: "Andreotti è convinto che la storia la faccia Dio". Ma Cossiga è un tipo strano… è massone…».
Lui nega di essere massone.
«Gli iscritti alle logge segrete negano di essere massoni. Credimi, Cossiga è massone».
I politici italiani stanno scoprendo la religiosità…
«Ma anche Ferrara. E Magdi Cristiano. Vallo a capire. Dicono che sia diventato cattolico dopo aver letto il Corano. Ma io ho letto la Bibbia e non sono diventato islamico».
I campioni del laicismo?
«Non ne conosco. Quando si è votata l'esenzione dall'Ici per la Chiesa, era il governo Prodi, ci sono stati solo sei voti contro. Dov'erano i cosiddetti laici?»
Prodi odiato da Ruini.
«Quando Prodi fu eletto nel 2006 disse: "Faremo pagare l'Ici alla Chiesa". Io pensai: "Finalmente un cattolico adulto". Poi fece una legge che esentava dall'Ici definitivamente tutti gli enti che non sono esclusivamente a scopo di lucro. Cioè: basta avere una cappelletta e non paghi l'Ici».
La sinistra è scomparsa.
«L'unico successo di Veltroni. Hanno appeso un cartello in Campidoglio: "Veltroni santo subito". Ha fatto il Pd e ha fatto cadere Prodi. Si è presentato da solo e ha fatto vincere Berlusconi. Ha presentato Rutelli e ha fatto vincere Alemanno».
Tutte le volte che Zapatero vince, Veltroni dice: "Abbiamo vinto".
«Col cavolo che "abbiamo vinto". Veltroni è l'antitesi di Zapatero. E' un vecchio democristiano di sinistra. Un vecchio socialdemocratico di destra».
Chi segue gli insegnamenti della Chiesa oggi?
«Nessuno. Cattolici fondamentalisti convivono con le loro compagne senza essere sposati. E solo il 30 per cento va a messa».
Veltroni ti ha definito "la versione caricaturale della laicità"…
«E lui se ne è andato a prendere schiaffi dal Papa il quale gli ha fatto la predica e alla fine ha anche battuto cassa per le scuole religiose. Vergognoso».
Veltroni ha anche detto che la Chiesa non fa ingerenze ma sollecitazioni…
«Beato lui. Se pensi al referendum sulla procreazione assistita… La Chiesa "sollecitò" l'indicazione di "non voto". Andreotti disse: "Io ci andrei a votare, ma se lo dice Ruini non ci vado"».
Tu sei comunista?
«Credo di esserlo. Mi piace un sistema statalista, governato dal centro».
Non ha dato grande prova di sé…
«I sovietici erano all'avanguardia rispetto ai tempi. Avrebbero avuto bisogno di mezzi informatici altamente avanzati».
Tu hai detto che gli scienziati sono gli unici che difendono la laicità...
«Scrivere libri contro la religione dovrebbe essere il lavoro dei filosofi. Ma in Italia non ci sono filosofi laici…»
Vattimo?
«Vattimo recita il breviario tutti i giorni».
Cacciari?
«E' un papista». Lui ti chiama "il sedicente laico"… «Ha ragione. Io non sono laico se laico è lui».
Ci sono anche scienziati credenti…
«Ma scienziati che non accettino il darwinismo non ce ne sono. O meglio ce n'è uno, Zichichi, che non è il massimo. Il fatto che lui non creda al darwinismo è un ottimo motivo per crederci».
Tu hai scritto che la Bibbia che è piena di sciocchezze.
«Quando ho letto la Bibbia mi sono sbellicato dal ridere. Non riuscivo a credere che una religione si potesse reggere su cose del genere. Un Dio cattivissimo fa il tifo per un unico popolo. Gli altri li distrugge. La terra promessa? Popolazioni annientate, donne violentate. A volte sembra di leggere Mein Kampf. Hitler citava la Chiesa come sua ispiratrice per i metodi di inquisizione. E gli Usa per come hanno sterminato gli indiani».
Sei anche antiamericano.
«Le leggi razziali contro gli zingari degli Usa sono precedenti a quelle della Germania nazista. Molte delle cose che noi imputiamo al razzismo nazista in realtà sono americane».
Hai firmato il documento contro la visita del Papa alla Sapienza?
«Non ero a Roma. Ma avrei firmato».
Dei professori che hanno firmato Cacciari ha detto: "Sono dei cretini".
«Cretino, etimologicamente, deriva da "cristiano"».
Non è stato elegante respingere il Papa…
«Perché, è vietata la protesta?».
Zittire il Papa… non farlo parlare…
«Zittire il Papa? Ha giornali, televisioni, tutte le domeniche è su Rai 1. Ha un sacco di deputati che parlano per lui».
Ferrara ti ha definito "estremista dell'ateismo di Stato".
«Ferrara è una persona gentile, dolce quando tratta a tu per tu. Quando invece scrive gli esce il diavolo dall'ombelico».
I giovani hanno fatto bene a tirargli i pomodori?
«Ferrara è un provocatore. Chi gli ha tirato i pomodori gli ha fatto un piacere».
Di Ferrara hai detto: "E' in pessima fede".
«Lui dice: "Fate l'amore e non fate l'aborto". Dovrebbe dire: "Fate l'amore col preservativo e allora non farete l'aborto". Non si può essere difensore della vita dell'embrione e fregarsene della vita dei soldati in Iraq».
Le tue risse?
«Me la sono presa con Vattimo quando frequentava gli Agnelli. Scrissi che era un agnellista prezzolato. Per vari mesi non mi ha parlato».
Dopo Vattimo?
«Me la sono presa con Zichichi. Zichichi è come un bambino. Anzi no, i bambini sono svegli».
Perché ce l'avevi con lui?
«Aveva scritto un libro intitolato: "Perché io credo in colui che ha creato il mondo". Gli feci una recensione dal titolo "Dagli amici si guardi Dio!" Mi querelò. A quel punto ho scritto un libro in cui ho raccolto tutte le sue sciocchezze, comprese le sue, diciamo così, teorie scientifiche. Per tutelarmi chiesi ed ottenni la prefazione dal suo protettore, Giulio Andreotti».
Altre vittime?
«Qualche frecciatina a Severino. E' una delle cariatidi della filosofia, incomprensibile e antiscientifico. Confonde scienza e tecnologia».
E poi?
«Poi Reale, uno di questi filosofi papisti. Uno che sostiene che Platone era un precursore di Gesù Cristo!»
Se gli italiani ti eleggessero premier, quali leggi faresti?
«Toglierei i finanziamenti alla Chiesa. Sai che il Vaticano possiede un quinto del patrimonio immobiliare italiano? Una casa su quattro a Roma è del Vaticano».
Ce l'hai col Papa.
«Ricomincerei dalla breccia di Porta Pia. Rimanderei il Papa a Gerusalemme. Bisogna liberarsi del fardello vaticano».
E dopo aver sistemato il Papa?
«Abolirei la pubblicità, simbolo di decadenza».
Ma come si fa a vietarla…
«E' vietato fare la cacca per terra, no? La pubblicità è come la cacca: puzza e fa schifo…».
Che ricordi hai della gioventù?
«Mio padre era geometra. Quando vide che mi ero laureato si seccò e prese la laurea in architettura, studiando la sera».
I politici che ti piacciono.
«Pochi. Forse Franceschini e Diliberto».
E Bertinotti?
«Lo ho votato tante volte ma è troppo aristocratico. Dicono: "Bertinotti ha perso perché non c'erano abbastanza principesse a votarlo"».
Quello che ti piace di meno?
«D'Alema. E' stato, prima di Veltroni, quello che ha fatto più male alla sinistra. Ha più alterigia che intelligenza».
Hai scritto che Ratzinger si comporta come un "vecchio leone moribondo".
«La religione cattolica è ormai una burletta. La gente si dice cattolica ma non sa nemmeno quel che vuol dire».
Al Festival del Libro di Torino c'è stato casino quest'anno, proteste contro Israele…
«Hanno fatto bene. Israele è come il Sud Africa di una volta, c'è l'apartheid. E' uno Stato fascista, imperialista, che pretende di occupare territori non suoi».
Arafat rifiutò le offerte di Barak…
«Perfino Carter, premio Nobel per la pace, disse che le proposte di Barak "erano inaccettabili". Uno Stato diviso in quattro parti sul 13% dei territori contesi. Tutto il resto inglobato da Israele».
Hai la prova che Dio non esiste?
«Che cosa intendi per Dio? Se intendi la natura, Dio esiste. Se tu mi dici: "Esiste un dio della pioggia?" non posso dimostrare che non c'è, però oggi sappiamo come si forma la pioggia e non abbiamo più bisogno del dio della pioggia».
Nei buchi del sapere la gente inserisce Dio…
«Ma poi i buchi si tappano e Dio che fine fa?»
Due polemiche: è giusto diffondere i dati fiscali come ha fatto Visco? E' giusto dare la parola a Travaglio in tv?
«Sono dati pubblici, perché non si deve sapere quanto guadagni? Non si vuole difendere la privacy. Si vogliono evadere le tasse. Io non ho nessuna difficoltà a dire quanto denuncio».
Quanto denunci?
«Nel 2005, 150 mila euro, grazie ai diritti d'autore».
Ha protestato anche Grillo.
«Non amo la politica fatta dai comici».
Travaglio?
«I suoi libri sono manichei e tosti. Ma importanti. Pieni di fatti. Ho letto le cose su Schifani. Che Schifani risponda. I libri di Travaglio hanno successo. Vuol dire che la gente vuole sapere».
E Santoro criticato per aver dato spazio a Grillo?
«Sbaglia Santoro. Reintroduce Grillo dentro la Rai in maniera surrettizia. Santoro è troppo egocentrico. Come Piero Angela. Da Angela possono esserci tre Nobel in studio ma parla sempre lui».
Grillo non lo ami molto.
«Grillo è un parvenu. Ho visto la sua dichiarazione dei redditi. Come fa a mettere insieme 5 milioni di euro?».
Direi che sono affari suoi.
«Mischia politica e comicità. E produce populismo».
Gioco della torre. Buttiglione e Cacciari, chi butti?
«Cacciari perché non ride mai».
Anche Gesù Cristo non rideva mai.
«Butterei anche lui dalla torre».
Andreotti o Cossiga?
«Andreotti ha il fascino del male. Io l'ho voluto incontrare solo per toccarlo».
Wojtyla o Ratzinger?
«Butto Wojtyla. Era un furbone mediatico».
Luciani o Giovanni XXIII?
«Butto Luciani. Era viscido».
Padre Pio e Madre Teresa di Calcutta?
«Butto Padre Pio anche perché era fascista».
Non ti sembra di esagerare?
«Andreotti mi ha raccontato che lui agli inizi non voleva andare da Padre Pio, perché Padre Pio era addirittura contrario alla riforma agraria. Era un reazionario. Madre Teresa almeno era atea. Tra atei ci si capisce».
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lunedì 16 giugno 2008
L'effetto Compton
Uno dei passaggi cruciali nell'avvicinamento alla meccanica quantistica é stato sicuramente lo scattering Compton. Nell'esperimento un fascio di fotoni viene collimato e indirizzato verso un bersaglio. Dopo l'urto contro tale bersaglio ogni fotone viene deviato di un certo angolo θ.
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Ponendo un revelatore in corrispondenza di una certa deviazione angolare si trova che la lunghezza d'onda del fotone dopo l'urto varia rispetto a quella che aveva prima dell'urto, secondo la formula:
dove
e h é la costante di Planck, me la massa dell'elettrone e c la velocità della luce.
Tale situazione non si spiega in un quadro classico. Ci vuole invece l'ipotesi quantistica che il fotone abbia energia E = hν e quantità di moto p = hν/c prima dell'urto e energia E = hν' e quantità di moto p = hν'/c dopo l'urto. L'elettrone avrà invece energia mec2 e quantità di moto p = 0 prima dell'urto ed energia:
e quantità di moto p dopo l'urto. Allora intendendo l'interazione tra il fotone e l'elettrone del bersaglio come un urto, sarà sufficiente applicare le conservazioni della quantità di moto e dell'energia.

Partiamo dalla conservazione dell'energia:
La conservazione della quantità di moto fornisce invece:
Allora i tre vettori formano un triangolo a cui si applica la formula di Carnot ottenendo:
Uguagliando con l'espressione per p2 trovata sopra dalla conservazione dell'energia ed eseguendo i semplici calcoli algebrici, si trova:
da cui la formula cercata, usando il fatto che ν = c/λ.
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