Funzione generatrice dei polinomi di Legendre

In questo post faremo uso della formula di Lagrange dimostrata qui.
In tale formula poniamo:

Allora l'equazione z = x + tφ(z) ha come unica soluzione:

Ponendo nello sviluppo di Lagrange f(z) ≡ z si ottiene:

da cui, derivando rispetto ad x:

Ma allora grazie alla formula di Rodriguez si ha:

Ma d'altra parte vale pure lo sviluppo di Taylor seguente:

da cui infine:

La funzione:

é detta funzione generatrice dei polinomi di Legendre.