Come anticipato mostro come ricavare la funzione generatrice dei polinomi di Legendre in un ulteriore modo. Abbiamo visto che la derivata n-esima di tale funzione fornisce l'n-esimo polinomio di Legendre. Allora indichiamola con G(x,t) e calcoliamo lo sviluppo:

usando per i polinomi di Legendre la rappresentazione integrale di Laplace seguente:

Allora si ha:



ammesso che t sia limitato ai valori tali che:

cosa che assicura la possibilità di scambiare somma e integrale come conseguenza della convergenza uniforme della serie geometrica.
L'integrale nell'ultimo passaggio si risolve con tecniche di integrazione complessa. Puoi vedere la dimostrazione cliccando qui.
[Chiudi]Consideriamo l'integrale:

di cui quello considerato sopra rappresenta un caso particolare con a = 1 - tx e b = t√x
2-1 e che possiamo riscrivere, con alcune semplici manipolazioni algebriche, come:

eseguendo la sostituzione:

Si noti come tale sostituzione mandi l'intervallo in φ da -π a +π nella circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine (in z). Ora si usa il teorema dei residui:

dove con z
k abbiamo indicato i poli della funzione f(z) all'interno della curva C
1(0). I poli della funzione integranda in questione sono:

di cui solo z
- interno a C
1(0) se |b|<|a|, come è in questo caso e si può mostrare usando la disuguaglianza |A-B|>|A|-|B| e la relazione che limita i possibili valori di t. Infatti:

da cui:

relazione questa che abbiamo detto essere soddisfatta per garantire l'interscambiabilità tra somma ed integrale. Immediatamente allora si trova:

relazione che scritta in termini di x e t da il risultato voluto.
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