Come anticipato mostro come ricavare la funzione generatrice dei polinomi di Legendre in un ulteriore modo. Abbiamo visto che la derivata n-esima di tale funzione fornisce l'n-esimo polinomio di Legendre. Allora indichiamola con G(x,t) e calcoliamo lo sviluppo:
usando per i polinomi di Legendre la rappresentazione integrale di Laplace seguente:
Allora si ha:
ammesso che t sia limitato ai valori tali che:
cosa che assicura la possibilità di scambiare somma e integrale come conseguenza della convergenza uniforme della serie geometrica.
L'integrale nell'ultimo passaggio si risolve con tecniche di integrazione complessa. Puoi vedere la dimostrazione cliccando qui.
[Chiudi]Consideriamo l'integrale:
di cui quello considerato sopra rappresenta un caso particolare con a = 1 - tx e b = t√x
2-1 e che possiamo riscrivere, con alcune semplici manipolazioni algebriche, come:
eseguendo la sostituzione:
Si noti come tale sostituzione mandi l'intervallo in φ da -π a +π nella circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine (in z). Ora si usa il teorema dei residui:
dove con z
k abbiamo indicato i poli della funzione f(z) all'interno della curva C
1(0). I poli della funzione integranda in questione sono:
di cui solo z
- interno a C
1(0) se |b|<|a|, come è in questo caso e si può mostrare usando la disuguaglianza |A-B|>|A|-|B| e la relazione che limita i possibili valori di t. Infatti:
da cui:
relazione questa che abbiamo detto essere soddisfatta per garantire l'interscambiabilità tra somma ed integrale. Immediatamente allora si trova:
relazione che scritta in termini di x e t da il risultato voluto.
0 commenti:
Posta un commento