Ancora sui boost di Lorentz

Nel precedente post abbiamo derivato l'espressione del boost parallelo all'asse x, in questo deriveremo l'espressione del generico boost in una qualsiasi direzione. Sia allora il versore parallelo alla direzione lungo la quale si esegue il boost.
E' chiaro che un vettore nel riferimento Σ può scomporsi in una componente parallela ad e in una ad esso perpendicolare:

Naturalmente solo la componente parallela subisce gli effetti del boost trasformandosi allo stesso modo della x del precedente post, rimanendo invariata la componente perpendicolare:

Allora:

Teniamo conto del fatto che per scrivere dunque:

Questa relazione vettoriale sulle coordinate deve essere accompagnata dalla relazione relativa al tempo:

Scrivendo al posto di ct, eseguendo tutti i prodotti scalari, ponendo:



otteniamo, uguagliando i coefficienti dei vari vettori di base :

Tale trasformazione di coordinate corrisponde alla matrice:

che rappresenta la generica trasformazione di tipo boost di Lorentz.

Le trasformazioni boost di Lorentz come conseguenza dei postulati di Einstein

Le famose trasformazioni di Lorentz ammettono, nella loro forma più semplice, una interessante derivazione. Partiamo dai postulati di Einstein, che ogni sistema di riferimento inerziale è equivalente ad ogni altro e che la velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale.
Consideriamo la seguente situazione: un osservatore si trova nell'origine O del riferimento Σ mentre un secondo osservatore si trova in O' origine di un altro sistema di riferimento Σ', in moto rispetto a Σ con velocità v nella direzione positiva dell'asse delle x.
Definiamo l'istante t = 0 come l'istante in cui vi sia coincidenza delle due origini O(0) ≡ O'(0). Successivamente O(t) = O(0) mentre O'(t) = O(0) + vt.
Il primo postulato suggerisce che lo spazio sia isotropo ed omogeneo. Questo implica che la relazione tra i due sistemi di coordinate deve essere lineare (una trasformazione lineare al massimo sposta l'origine e ciò è possibile grazie all'uniformità dello spazio e del tempo) e che gli assi y e z possono essere scelti paralleli rispettivamente agli assi y' e z' (come risultato di una rotazione intorno all'asse x la quale, grazie all'isotropia dello spazio, non influenza la nostra descrizione). Quindi la generica relazione tra (y,z) e (y',z') è la seguente, tenendo conto che le origini devono coincidere per t = 0 (quindi non esiste termine noto):

relazione che, per isotropia diventa subito:

Per ricavare A basta pensare di avere un regolo R1 (risp. R2) parallelo all'asse z (risp. z') nel sistema Σ (risp. Σ') e avente lunghezza l1 (risp. l2') unitaria per l'osservatore ad esso solidale. Quindi l1 = 1 per O e l2' = 1 per O'.
Ma d'altra parte l1' = A (lunghezza di R1 per O'), mentre l2 = 1/A (Lunghezza di R2 per O). Per l'equivalenza dei sistemi inerziali (primo postulato) si deve avere che la lunghezza di R1 per O' e quella di R2 per O devono essere uguali, da cui A = 1/A, oppure A = 1. Quindi, finalmente:

A questo punto consideriamo la più generale relazione lineare tra (x,t) e (x',t') è la seguente:

insieme con la sua inversa.
Ma quando x = x' = 0, si ha t = t' = 0, cosa che implica l'uguaglianza a zero dei termini noti. Quindi:

Nella prima di queste poniamo x' = 0, il che equivale a considerare il moto di O' rispetto a O. Allora, nella prima x = vt. Nella seconda poniamo invece x = 0, il che equivale a considerare il moto di O rispetto a O'. Allora, nella seconda x' = -vt'.


Allora se poniamo:

si ottiene:

Se tali fattori dipendessero dalle coordinate spaziali o dal tempo, potremmo dire addio all'omogeneità dell'universo. Se dipendessero dalla direzione del vettore velocità allora addio all'isotropia. Quindi possono solo dipendere dal modulo della velocità, che è proprio v.
A questo punto con un ragionamento simile a quello che precedentemente ci ha portati a dire che A = B mostriamo che γ = γ'. Consideriamo il solito regolo R1 (risp. R2) posto in O (risp. in O') di lunghezza l1 = 1 (risp. l2' = 1). Se all'istante t' = 0 l'osservatore in O' misurasse R1 troverebbe l1' = 1/γ (usando la seconda relazione con t' = 0). Al contrario, se all'istante t = 0 (che significa t' = 0 quindi nello stesso istante in cui O' misura R1) l'osservatore in O misurasse R2 troverebbe l2 = 1/γ' (usando la prima relazione con t = 0). I due sistemi devono essere equivalenti quindi l1' = l2. Dipendendo i due fattori solo da v, questo implica γ = γ'.

A questo punto non ci resta che determinare il valore del fattore γ in funzione del modulo v della velocità. Supponiamo che una sorgente lumonosa solidale con Σ emetta all'istante t = t' = 0 un raggio luminoso il quale inizia a propagarsi rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento con velocità c (velocità della luce). Il fronte dell'onda allora raggiungerà il punto P sull'asse x all'istante t dato per O da x = ct. In Σ' tale relazione diventa x' = ct'.
Per confronto:

Moltiplicando membro a membro si ha:

che è la relazione cercata in cui la dipendenza dal solo modulo della velocità è palese. Allora:

Dalla relazione inversa:

In definitiva i boost lungo l'asse x sono dati da:

Le rotazioni in 3 dimensioni

Le rotazioni dello spazio a 3 dimensioni in matematica e in fisica sono trattabili in termini di particolari matrici, dette matrici ortogonali la cui matrice inversa coincide con la trasposta (per matrice trasposta di R si intende la matrice RT che si ottiene scambiando righe con colonne di R). In formula, detta R una tale matrice RRT=1. Una matrice ortogonale tridimensionale può sempre, grazie ad una opportuna trasformazione di similitudine, essere posta nella forma:

Inoltre le righe e le colonne di una matrice di rotazione formano una base ortonormale. Tali matrici sono per definizione invertibili e formano quindi un sottogruppo di GL(3), denotato con O(3). Immaginiamo ora di considerare una rotazione infinitesima cioè una matrice vicina alla matrice identica R=1+E, dove le entrate della matrice E sono infinitesime. Allora:

dove a,…,k sono infinitesimi. Allora prodotti e potenze di tali coefficienti possono essere trascurati nei successivi conti in quanto infinitesimi di ordine superiore al primo.
Consideriamo la matrice infinitesima scritta sopra e imponiamo che rappresenti una rotazione:

Tale prodotto, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo vale:

Da questa ultima relazione segue che i parametri g, h, k devono essere posti a zero, mentre:

Queste condizioni mi permettono di scrivere una generica rotazione infinitesima nella forma:

dove sono per comodità state introdotte le matrici Lk dette generatori infinitesimi del gruppo delle rotazioni nel senso che ogni matrice infinitesima può scriversi come loro combinazione lineare. Inoltre si sono ridefiniti i coefficienti opportunamente: a=γ, b=-β, c=α. Si trova facilmente che:

Essendo questa espansione vera a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo si può pensare che in forma finita una rotazione con parametri α, β e γ sia data da:

in quanto exp A~1+A+(termini trascurati). A questo punto si noti che il vettore (α β γ) è invariante sotto la rotazione infinitesima R in quanto R(α β γ)=(α β γ). Quindi sicuramente tale vettore stabilisce la direzione dell'asse di rotazione.
Ora considero il generico vettore perpendicolare a v=(α β γ). Esso si scrive come segue:

Il modulo di questo vettore vale:

Allora sarebbe meglio considerare il generico versore perpendicolare, ottenibile da w dividendo semplicemente per il suo modulo:


Applichiamo la rotazione a un tale vettore. Secondo il senso comune, essendo perpendicolare all'asse di rotazione, esso dovrebbe essere variato di una quantità perpendicolare sia all'asse stesso sia al versore r (in direzione tangenziale alla circonferenza di raggio r e con centro sull'asse). Cioè si dovrebbe avere:

dove:

Vediamo se si trova questo con il calcolo. Intanto poniamo:

Allora:

Ma:

da cui segue che:

Tale vettore risulta effettivamente perpendicolare all'asse di rotazione d (cioè al vettore v) e allo stesso r, come un semplicissimo calcolo algebrico mostra immediatamente.
La figura mostra ed è ben noto che, essendo una quantità infinitesima, il modulo ||e|| vale quanto l'arco di circonferenza compreso tra i vettori r ed R(r).Ma la circonferenza ha raggio unitario quindi tale lunghezza d'arco uguaglia l'angolo di rotazione θ. Calcolare tale modulo è un esercizio algebrico coinvolgente un raccoglimento totale del radicando di c. Si ottiene agevolmente:

E' nata Sofia

La mia piccola è nata il 12 settembre, un venerdi, alle 2:47 di mattina. Che gioia! E' piccola (2810 g) e adorabile. Ha un bel musetto e mangia come una maialina, sempre attaccata al seno di Cry. Bella davvero! Sono proprio contentissimo…
Spesso frigna perchè ha fame ma non mi da nessun fastidio. Non pensavo, avrei detto che sarei stato più insofferente. Meglio così. Vi piace la piccola?