Ancora sui boost di Lorentz

Nel precedente post abbiamo derivato l'espressione del boost parallelo all'asse x, in questo deriveremo l'espressione del generico boost in una qualsiasi direzione. Sia allora il versore parallelo alla direzione lungo la quale si esegue il boost.
E' chiaro che un vettore nel riferimento Σ può scomporsi in una componente parallela ad e in una ad esso perpendicolare:

Naturalmente solo la componente parallela subisce gli effetti del boost trasformandosi allo stesso modo della x del precedente post, rimanendo invariata la componente perpendicolare:

Allora:

Teniamo conto del fatto che per scrivere dunque:

Questa relazione vettoriale sulle coordinate deve essere accompagnata dalla relazione relativa al tempo:

Scrivendo al posto di ct, eseguendo tutti i prodotti scalari, ponendo:



otteniamo, uguagliando i coefficienti dei vari vettori di base :

Tale trasformazione di coordinate corrisponde alla matrice:

che rappresenta la generica trasformazione di tipo boost di Lorentz.